廣義相對論的數學原理就隱藏在披薩與雞蛋中
引言
愛因斯坦一生最引以為豪的就是創立了廣義相對論，依此解釋了水星近日點的進動誤差，並預言了光線在太陽引力場中的偏折。
他曾經自豪地說道，如果沒有他，狹義相對論可能仍然會被發現，但是廣義相對論的發現將至少被推遲10年。事實真的是這樣嗎？
1. 當「臨時抱佛腳」遇上「數學學霸」
愛因斯坦1905年就提出了狹義相對論，但是直到10年之後才完整表述廣義相對論，很重要的一個原因就是：廣義相對論的目標——反映物理規律的一切微分方程應當在所有參考系中保持形式不變——需要一個強大的數學表達工具，愛因斯坦自己搞不定這個工具。
上述目標換成通俗的話講，就是物理規律的描述獨立於坐標系的選擇。
愛因斯坦獨自解決了很久也沒有頭緒，直到1912年他的大學同窗、猶太數學家格雷斯曼向他介紹了黎曼幾何，才撥雲見日。
順便插條花邊：愛因斯坦上大學的時候經常逃課，考試前臨時抱佛腳，基本上靠的都是格雷斯曼的筆記：）關鍵時刻還是得靠「好基友」！
可是黎曼幾何也不是那麼容易學的，直到1915年6月，愛因斯坦還在推導與水星的異常軌道匹配的數學方程。
此時愛因斯坦正處在妻子米列娃鬧離婚、與表姐艾爾莎糾纏的三角關係中，可謂焦頭爛額。
就在這個時候，德國哥廷根大學開設了為期一周的系列講座，當時哥廷根是全球人才中心，其中最非凡的數學天才就是希爾伯特，愛因斯坦特別想和希爾伯特交流。接觸之後，希爾伯特很快被挑起了興趣，但是希爾伯特指出愛因斯坦的方法不對，但他有辦法解決。
這一下子給愛因斯坦非常大的壓力，他深知希爾伯特的數學實力遠超自己，所以擔心希爾伯特會早於自己推導出來，這樣廣義相對論的獨立發現權就懸了。
在競爭壓力下，愛因斯坦日以繼夜地玩命推導，終於在1915年11月完成了正確推導，同一時間他也收到了希爾伯特的完成證明的來信，但是希爾伯特非常大度，認為愛因斯坦在廣義相對論上花費了巨大的心血和時間，公開承認愛因斯坦是廣義相對論的獨立發現者。兩人也因此結下深厚的友誼。
回顧上面的廣義相對論發現之旅，我們不難看出，如果要登頂其他自然科學的巔峰，特別是物理學，沒有超凡的數學思想和數學工具的打造能力，即便是愛因斯坦那樣想像力非凡、直覺洞察力驚人的物理學家，也要求之於人、甚至擔心成果的獨創性。這也是為什麼有不少人會誤解愛因斯坦數學不好的原因——拜託，你不要一上來就和同時代超一流的數學家相比，好不好？
那麼，這個「折磨」愛因斯坦多年的黎曼幾何到底是個什麼鬼？
2. 數學王子與「內蘊微分幾何」
天才黎曼是高斯的入室弟子，以其名字命名的黎曼幾何，其實源自高斯的內蘊微分幾何。
很多人都知道高斯是「數學王子」，但他其實還是個電磁學大師。電磁學中著名的「高斯定律」就是他的得意之作。
高斯在研究封閉曲面與電荷關係的過程中，發展出了一整套用於解決一般曲面問題的新型數學武器——內蘊微分幾何，收錄在他的傳世之作《關於曲面的一般研究》中。
2.1 什麼是內蘊微分幾何？
在高斯之前，所有的數學家研究曲面都是「站在曲面外看問題」；而高斯獨樹一幟，「站在曲面上看問題」。
所謂的「站在曲面外看問題」，是指把曲面放在外部坐標系中去研究，這個是從法國大哲學家、大數學家笛卡爾發明解析幾何之後的傳統方法。
外部坐標系的選擇不同，曲面的描述形式也有可能不同。
而所謂的「站在曲面上看問題」，是指直接通過曲面本身來研究曲面：
比方說，地球是一個球面，球面也是一種曲面。我們可以從地球上做一些觀察來發現地球本身的幾何性質。想想人類是怎麼發現地球是圓的：
航海發現
- 遠方的船隻逐漸靠近的時候，首先看到的是桅杆從海平面冒出，然後再是船身。如果地球是平的，那麼應該是同時出現。
- 船隻向遠方的山脈航行時，站在船上觀察，首先看到的是山峰從海平面冒出，然後再是山體。如果地球是平的，那麼應該是同時出現。
- 葡萄牙探險家麥哲倫1522年完成環球航行，證明了地球是圓的。
天文發現
- 如果身處地理位置不同，夜空中觀測到的星星也有所差異。如果地球是平的，那麼只要時間相同，不同地方看到的星星應該都一樣。
- 不同緯度的人，都可以觀察到月食，而且都可以看到地球投射到月面的影子是圓形的。如果地球是平的，那麼結果是完全不一樣的。
關於上面天文現象證明地球是圓的的最早論述，可以追溯到2400年前，古希臘百科學家亞里士多德的著作《論天》（又譯《宇宙哲學》）。
《論天》
亞里士多德
亞里士多德名言：「自然沒有任何無用之處」
以上無論是航海還是天文方法得到地球是圓的結論，都是在人類登上太空之前，直接在地球上通過觀察相關現象獲得的。換言之，是在球面本身研究球面。
一言以蔽之，「站在曲面外看問題」是「上帝視角」，「站在曲面上看問題」是「人類視角」。後者更「接地氣」，但它是一種間接方法，難度比直接方法要高出幾個段位，所以需要更多深邃而智慧的思考。
這也難怪一生碩果累累卻保守低調的高斯在發現了內蘊微分幾何學最關鍵的概念——高斯曲率時，會一反常態，興奮地將「隨意彎曲一個曲面，只要不拉長、壓縮或者撕裂它，高斯曲率保持不變」這一性質稱為「絕妙定理」。
2.2 高斯曲率到底是個什麼鬼？
設想一隻螞蟻在曲面上爬，在任意一點，它都有兩個互相垂直的極端爬行方向，這兩個方向都是最彎曲的（如下圖中的綠線與紅線）。高斯通過演算，推導出：對任意一點，這兩個方向的曲率乘積K，只依賴於曲面上的距離如何測量，而與曲面的外部坐標選擇沒有關係。這個K就是高斯曲率。
發現關鍵字了沒？「與外部坐標系選擇沒有關係」，這不正是愛因斯坦廣義相對論的目標嗎？
2.4 內蘊微分幾何與黎曼幾何等其他幾何的關係
高斯的內蘊微分幾何就像是《天龍八部》中的「北冥神功」——它用同一種幾何概念將那個時代所有類型的幾何全部吸納了進來。
《天龍八部》中的「北冥神功」
換言之，其他類型的幾何只是內蘊微分幾何的特例。比方說：
- 當曲面是平的時候，此時高斯曲率等於0，退化為傳統的歐幾里得幾何，也就是我們初中開始學習的傳統幾何。它的通俗特徵是：過直線外一點有且只有一條直線與它平行、三角形內角和等於180度。
- 當曲面是凸的時候，此時高斯曲率大於0，轉換為三維流形下的黎曼幾何，也稱橢圓幾何。它的通俗特徵是：過直線外一點沒有任何直線能與它平行、三角形內角和大於180度。
- 當曲面是凹的時候，此時高斯曲率小於0，轉換為羅巴切夫斯基幾何，也稱雙曲幾何。它的通俗特徵是：過直線外一點有無數條直線與它平行、三角形內角和小於180度。
其他幾何只是內蘊微分幾何的特例
3. 絕妙定理決定了吃披薩的正確姿勢
看看美女吃披薩的姿勢，抓起一塊披薩，正要一口吞掉的時候，披薩一下子軟了……
那麼如何保持披薩「雄起」，正確入口呢？秘訣就是捲曲。
我們用絕妙定理分析一下：披薩剛從盒子里拿出來時還是平展的，此時是一個平面，各處的高斯曲率都是0；當我們將披薩捲起來的時候，捲起來的方向上的曲率不再是0，根據絕妙定理，此時曲面並沒有拉長、壓縮或者撕裂，所以高斯曲率保持不變，而高斯曲率等於兩個互相垂直方向的曲率乘積，現在捲起來的方向上的曲率不是0，那麼與它垂直的方向（正對嘴巴）上的曲率就必須是0了，這意味著正對嘴巴的方向是平的，完美克服「疲軟」！
4. 絕妙定理的其他應用
絕妙定理在生活和工程里有很多妙用。
4.1 生雞蛋帶殼為什麼用手握很難握扁？
雞蛋的表面是彎曲的，各處的高斯曲率都不等於0。而捏扁意味著變成平面，高斯曲率變成0。但是根據絕妙定理，如果不進行物理破壞的話，高斯曲率不會變化，因此用手很難直接握扁。當你用小勺敲出一個缺口時，曲面改變了，此時就很容易握扁了。
4.2 品客薯片為什麼不容易碎？
品客的薯片是雙曲拋物面，它在兩個方向上都彎曲。這意味著：當它受到其中一個方向兩側的壓力時，雖然會造成這個方向向上拱起、彎曲更厲害的趨勢，但是根據絕妙定理，與它垂直的方向，為了保持高斯曲率不變，只有進行該垂直方向上的拉伸、減弱彎曲趨勢，於是兩種趨勢中和之後的結果，就保證了薯片不容易物理破損。
4.3 為什麼很多建築都修成曲面？
正如上面對品客薯片的分析，彎曲可以增強韌性，所以建築修成曲面可以達到如下目標：在達成同樣韌性的前提下，使用曲面更加節省材料。
此外，如果你留意的話，還會發現裝快遞的紙盒的夾層都內嵌了破浪條紋，這也是利用了絕妙定理——彎曲增強韌性。
寫在後面的話
沒想到一個小小的定理，支配了這麼多東西，小到披薩、雞蛋、快遞，大到建築、宇宙……
看來還是要聽媽媽的話，多吃披薩和雞蛋，這樣才能像數學王子高斯一樣，發現如此絕妙的定理！
