勾股定理，一個有400多種證法的神奇定理
如果你在合肥淮河路步行街上隨機採訪一些年輕的小哥哥小姐姐，問他們印象里最深刻的數學定理是什麼？曉然菌相信，有相當一部分人會回答是勾股定理。
什麼是勾股定理？簡而言之就是，直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。用數學語言來表示就是：
勾股定理
說起勾股定理，那可真是串起了遙遠的數學發展史。中國的數學啟蒙很早很早，中國的上古數學著作《周髀算經》中記載了周公與商高的這樣一段對話：
「以為勾的廣三，股修四，徑隅五」。其二，「既方其外，半之一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」
趙爽 弦圖
翻譯一下就是，邊長分別是3,4的直角三角形，那麼斜邊長就是5。這也是「勾三股四弦五」的最早由來。不過雖然中國人發現這組最小的勾股數時間很早，但是針對於這個定理本身的證明卻要遲的多。一直到魏晉時期，我國古代著名數學家劉徽才在《九章算術注》里給出詳盡證明。後世的中國數學家也有不少研究過這個定理，並且給出了不少相當明了的證明，下面我們來看下東漢數學家趙爽的證明方法。
趙爽弦圖之證明
值得一提的是2002年在北京舉行的第24屆國際數學家大會，這是數學界最高級別的會議，在會上就頒發4年一度的數學界最高獎——菲爾茲獎，那一屆大會的會標就是趙爽的弦圖。
2002年國際數學家大會會標
勾股定理如此熱鬧，吸引著各行各業對數學有高度興趣的人士來參與，甚至美國總統也來湊熱鬧。
數學家總統 加菲爾德
加菲爾德，美國第20任總統，用梯形面積來證明勾股定理，簡約而不簡單。我們來欣賞一下總統的大作吧。
勾股定理之總統證法
事實上，直到今天，人們已經陸續發現了400多種證法。證明的思路包羅萬象，彷彿你從任意一個數學觀點出發都有可能抵達證明的終點。不過在這裡，可千萬不要用三角函數的方式來證明。這是絕對錯誤的，為什麼呢？因為三角函數就是從勾股定理推導出來，如果用結論去證明一個過程，那不就是典型的循環論證了么，因此可千萬要避免。
如此精彩的一個定理，肯定不會只是一個文明的發現。勾股定理在東方和西方的文明中都留下了記載。
古希臘先哲——畢達哥拉斯學派
說到西方古文明，那麼古希臘首屈一指，尤其是在數學上的成就，是後人們很久都難以企及的。在西方世界，誰最先發現了這個定理已經無法考證，但是現在我們一般都把這個定理的發明歸於畢達哥拉斯學派，所以西方社會也把勾股定理稱作畢達哥拉斯定理。這是一個由畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，在這個學派里，他們多是自然科學家，把美學視為自然科學的一個組成部分，他們認為整數是描述整個世界的語言。因為對數字的極度痴迷，畢達哥拉斯也研究了很多種數字，比如素數，完全數，三角形數等等。
畢老師
據說當年，因為慶祝畢達哥拉斯發現了勾股定理，整個學派殺了一百頭牛來慶祝這個成果的誕生。因此歷史上又稱這個定理為百牛定理。足見當時的學派人士是多麼心思若狂。不過在這裡，畢達哥拉斯學派真是成也定理，敗也定理。這是怎麼回事呢？
勾股定理的表達式很簡單，就是兩個數的平方和等於另外一個數的平方。如果這三個數都是整數那自然是很好了，但是直角三角形並不總是三條邊都是整數，那遇到一個沒辦法開完根號的邊長，又該如何表示呢？比如兩條直角邊都是1，斜邊長是多少。這不就是根號2么，但是當時的數學水平對於數字的研究僅限於整數和小數，諸如根號幾這一類沒法開完根號的數字，他們是難以理解的，或者說是難以接受的。
根號2怎麼表示呢？
畢達哥拉斯學派不愧是對數字崇拜到了極點，在「萬物皆數」的引導下， 他們固執地認為，所有的數字都可以表示成兩個整數的比。一直都相干無事，大家也都相信這樣的真理。然而，在一片祥和寧靜的世界裡總要有人來打破，並且創造出一些新的東西來。
大約在公元前500年左右，同樣是學院派人士的希帕索斯，這位同志就由畢達哥拉斯定理推論出一個問題來：直角邊是1的等腰直角三角形的斜邊長度是多少，貌似不能表示出來。咱們學派不是說所有的數都可以表示成兩個整數之比么？可是這個根號2怎麼辦呢？好像就是不可以啊。希帕索斯並不是一個有太多成就的數學家，我們現在用反證法很容易證明出根號2不是任何整數之比，但是他的這個疑問卻難倒了當時的很多人。他把疑問傳達給學派的同學們，同學們面面相覷，雖有疑問卻都不能圓滿解決。這可怎麼辦？凡是畢老師堅持的我們都認為是真理，凡是畢老師堅持的信仰我們都要毫不猶豫地去維護。好吧，那就只有犧牲你了，希帕索斯同學。
畢老師和希帕索斯
在很久以前總有一幫愚昧的人，問題解決不了，那就解決提出問題的人。就這樣希帕索斯被同學們丟入大海溺亡，當然這種事情是不可以在光天化日之下進行的。偷偷地做了，就這樣，希帕索斯應該是第一個為數學而犧牲的人了。人是沒了，但是流言卻四起，學派的信仰也發生了動搖，甚至在學院內部也禁止傳播發現無理數的行為。不過真理的發展就像車輪一樣，總會不斷向前，靠強制手段和高壓政策是絕對不可能把真理完全封閉起來的。
由希帕索斯發現的無理數在當時的數學界掀起軒然大波，這也被稱為第一次數學危機，而勾股定理的發現是這次危機的直接導火索事件。人們也開始意識到，數學的海洋實在太廣了，用哲學來解釋數學根本就是天方夜譚，數學只相信客觀事實和理性思維，在這裡，一切多美妙和諧的所謂信仰都要經過這兩種考驗，才能安然地與數學融合起來。像遠古時代的畢達哥拉斯時代，用現代人的眼光來看，實在太有民科氣質了。
很多人在曉然菌文章下面都喜歡評論：你天天都說哥德巴赫猜想，黎曼猜想這些問題，這些問題就算解決了有什麼用？那就再回答一次吧，因為好玩啊。我們再次回到勾股定理的問題來，這裡是兩個數字的平方和等於另外一個數字的平方，我們都知道滿足這樣條件的勾股數有無數組。那我們稍微改變一形式，兩個數字的立方和等於另外一個數字的立方。請問這樣的整數組有多少個呢？這裡簡單把2次方改成3次方，在奧數題目中經常遇到這種伎倆，最後都會用一種巧妙的方法來解決，這裡的小改動是否也有小伎倆來解決呢？答案是沒有，這是一個亘古的難題。
費馬大法官
許多同學已經知道了，這就是著名的費馬大定理，我們現在已經知道這是沒有整數解的。
大約1637年，費馬同志提出了這個猜想，當然他不是根據勾股定理來推出這個猜想的，但是這兩個問題的數學表達方式如此相似，好像同胞兄弟一般，吸引著無數大師的研究熱情。
費馬大定理紀念郵票
其實當年費馬提出的可不僅是只有3次方，而是3次，以及3次以上都是沒有整數解的。在那個沒有後來懷爾斯用到的橢圓曲線，模函數的年代，只能採用最常規的辦法，先從最小的3開始，看看能否用數學歸納法推廣到全體整數。這種常規思維容易讓人想到，那就開始做吧。
可是沒想到，這個看似只是一個奧賽題難度的小問題，在最初的130多年裡毫無進展。1770年，歐拉才出手證明了n=3的情況。在300多年的證明過程中，柯西，拉梅，庫默爾，熱爾曼等大師級專家獻身其中，不斷取得進步。
1637年，費馬在書本空白處提出費馬猜想。
1770年，歐拉證明n=3時定理成立
1823年，勒讓德證明n=5時定理成立。
1832年，狄利克雷試圖證明n=7失敗，但證明 n=14時定理成立。
1839年，拉梅證明n=7時定理成立。
1850年，庫默爾證明2<n<100時除37、59、67三數外定理成立。
1955年，范迪維爾以電腦計算證明了 2<n<4002時定理成立。
1976年，瓦格斯塔夫以電腦計算證明 2<n<125000時定理成立。
1985年，羅瑟以電腦計算證明2<n<41000000時定理成立。
1987年，格朗維爾以電腦計算證明了 2<n<101800000時定理成立。
1995年，懷爾斯證明 n>2時定理成立。
費馬大定理終結者 懷爾斯爵士
費馬大定理這段接力起伏的攻堅過程堪稱是一部浩瀚精彩的大戲，一直到1993年，英國數學家懷爾斯宣布徹底證明費馬大定理，並在1995年經過驗證。人們歷經358年，這一偉大的問題才真正成為了定理。
為什麼這個玩具完美地證明了勾股定理？
小小的勾股定理是數學史上第一個數與形結合的定理，我們很難再找到一個如此經典的數學命題了，有著如此新穎的爆發力。其實到了今天勾股定理的新證明仍然在出現，並且是以各種不同的角度來證明的，實在讓人感到意外。如果你有足夠創意，你可以。
