超越費馬猜想的終極難題：18個積分遠超人類運算極限，或永恆無解
蘊含18個積分的
超級運動方程
自從8歲的表妹放了暑假
每天都在問超模君
有沒有好書推薦
考慮到老少咸宜、兼備知識性和趣味性。超模君覺得，《三體》這本書，非常適合天賦異稟的8歲表妹，不信你看：
點擊了解圖書
說起《三體》，超模君回想到，在這本書的第一部當中，玩家通過模擬遊戲，建立各種模型，以解析三體世界裡三顆恆星的運行規律，從中遇到了很多宏偉卻悲壯的景象。
（在三體世界，三顆飛星表示三顆恆星都遠離行星，會出現大嚴寒。）
（在三體世界，三日凌空產生的高溫，足以蒸發行星表面的一切。）
當然還有更恐怖的景象，比如：
（在三體世界，三日連珠指三顆恆星與行星位於同一直線，產生疊加引力。）
（在三體世界，飛星不動是最大的災難，意為行星飛向並墜入恆星。）
（洛希極限：當小天體臨近大天體，會被大天體的引力撕裂，洛希極限為兩者距離的臨界值。）
當遊戲進行到第192關後，玩家們發現絞盡腦汁，也無法解答這三顆恆星的運動規律，只好得出了三體問題無解這一結論。
其實不僅僅是科幻小說，在現實中，三體問題經過科學家們幾百年前赴後繼的摸索，同樣是一道無解難題。
有關三體問題，超模君還要從老熟人希爾伯特說起……
什麼是三體問題？
1900年，希爾伯特在他著名的演講中，提出了23個困難的數學問題，以及兩個典型的數學案例：一個是鼎鼎有名的費馬猜想，另外一個，恰恰就是N體問題的特例——三體問題。
時過境遷，費馬猜想在二十多年前已經被英國數學家懷爾斯證明，而三體問題卻成為了數學大廈上，一塊揮之不去的烏雲。
三體問題實際上是天體力學中的基本力學模型，探究三個質量、初始位置和初始速度都為任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律。
科學家們經過長期研究得出結論，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下，運動方程都可以表示成3個二階的常微分方程，或6個一階的常微分方程。
這就顯而易見了，3*3*2=3*6*1=18，至少要有18個積分，才能得到三體問題的完全解。而截至目前，科學家們絞盡腦汁也只能得到16個積分，三體問題仍是未解之謎。
但是，沒有什麼困難可以讓我們的科學家們輕言放棄。
三體問題的數學推斷
對於三體問題這一龐然大物，科學家們決定採用微分方程的定性理論，來研究長時間內三體運動的宏觀規律和全局性質。
並且嘗試代入數值，計算某一天體在某些時刻的具體位置和速度，具體代數式如下：
根據萬有引力定律和牛頓第二定律，可以得到在三體問題中，作用於其中一個質點Qi的力是：
設 m 為質點的質量；
r 為質點的位置矢量；
rij為兩質點間的距離；
Fij為兩質點間的作用力。
於是，三體問題中Qi的運動微分方程可以寫為：
上式在直角坐標軸中的投影式為：
所以，三體問題中的每個天體在數學中都可以被寫成3個二階常微分方程，共6階，三個天體就是18階。
因為已知積分不足以解決三體問題，所以科學家們的研究方向，就是如何去簡化數學式了。
著名數學家布倫斯和龐加萊曾證明n體問題只有10個運動積分，即3個動量積分，3個關於質心運動的積分，3個動量矩積分和1個能量積分，而且它們都是代數式。
應用這10個積分可將三體問題的18階方程降低到8階，再用「消去時間法」降低到7階，又用「消去節線法」降低到6階。如為平面三體問題則可降為4階。
不過，消除了運動積分和時間、結線、維度的三體問題，只能被稱為「理想狀態」下的三體問題。
若想要解決完整的三體問題，所有的積分和條件就都需要考慮進來了，「理想狀態」下的三體問題，只是給完整的三體問題指了一條明路。
三體問題的研究成果
在三體問題被提出後的兩百年間，幾乎所有18、19世紀的著名數學家都嘗試過去求解，但研究進展微乎其微，直到希爾伯特那次著名的演講，才終於有了突破。
這次三體問題的突破，主要是發現了三體運動的三種特殊情況，在這三種特殊情況下，三體問題具有特解。
1.拉格朗日-歐拉族：三星成三角形,圍繞三角形中心旋轉；
2.布魯克-赫農族：兩顆星圍繞第三顆星旋轉；
3. 8字型族：三個等質量的物體在一條8字形軌道上運動。
但同樣，這也屬於「理想狀態」下三體問題的範疇，為了更直觀解決三體問題，後來的科學家們還提出了「限制性三體問題」：
在限制性三體問題的條件下，三體運動已經是對實際物理簡化得很厲害了，比如說對質點，球體自轉、形狀這些因素統統不考慮。
然而無論怎麼變化，牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、龐加萊等等大師們，為這個問題窮盡精力，也未能將它攻克。
科學發展到現在，三體問題的求解過程真的是一部令人心酸的簡化史。
雖然三體問題沒有被最終攻克，但科學家們在研究過程中，取得了非常有用的成果。
1772年，拉格朗日在「平面限制性三體問題」的條件下找到了五組特解，從而發現了沿用至今的「拉格朗日點」。
（地月拉格朗日點：L1、L2、L3、L4、L5）
當小天體位於兩個大天體的拉格朗日點附近時，小天體可以基本保持靜止，按照拉格朗日的推論，每一個雙星系統共有五個拉格朗日點，其中只有兩個是穩定的。
兩個穩定點L4、L5與兩個天體所在的點，構成一個等邊三角形。五個拉格朗日點的計算公式如下：
正是因為拉格朗日點具有較好的穩定性，所以它的應用很是廣泛，像NASA的月球空間站，就建立在地月的拉格朗日點。
而且，運用拉格朗日點來設計行星間的轉移軌道，可以使宇宙探測器、飛船更加安全、平穩的在軌道上運行。
雖然三體問題仍未被完全解答，但是，科學家們一直保持著前進的腳步。
1993年，塞爾維亞物理學家米洛萬·舒瓦科夫和迪米特拉·什諾維奇發現了三體運動方程中新的13組特解。
加上前面所說的3組特解，三體問題特解的族數一下擴充到了16組，這對人們研究太空火箭軌道和雙星演化，都有很大的幫助。
時至今日，科學界對三體問題的研究，以及對其衍生出的應用的發掘，仍步履不停、滾滾向前。
三體問題無解析解
說了這麼多，想必大家也已經達成了共識：三體問題真的無解。
三體問題之所以無解，除了前文說到的缺少積分之外，更重要的是：三體系統在空間中的分布可以有無窮多種情況，通常情況下是非周期性的。
冗長的宇宙時間還會通過蝴蝶效應，把初始的微小誤差無限放大，產生所謂的「混沌現象」。
（與雙星系統相比，三體系統的複雜程度可見一斑）
混沌現象其實普遍存在於我們的生活當中，比如端流問題、氣象或地震預測、洋流跟蹤、微觀粒子運動、病毒擴散等等……
這類現象不能產生規律性的答案，無法用解析式表達出來，我們常說的「三體問題無解」，準確地來說其實就是無解析解。
最後，借用《三體》小說中數學家魏成的話：三體問題若想真正解決，是建立一種數學模型，使得在已知任何一個時間斷面的初始運動矢量，都能夠精確預測三體系統以後所有的運動狀態。
所以說，想要在不遠的未來解決三體問題的話，就要從現在開始，每天跟超模君一起，好好學數學……
留言有福利
這是一次很有書香氣息的留言福利~
1樓獲得劉慈欣《三體》三冊套裝
2樓獲得牛頓《自然哲學的數學原理》
8樓獲得《蝴蝶效應》一本
本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容
部分資料來源於網路
轉載請在公眾號中，回復「轉載」
購買2件打9折，領券最高減10元！
購買3件以上，私聊小天贈送超模君新書1本！
選購數學科普正版讀物
嚴選「數學思維好物」
送給孩子的閱讀禮物|辦公室神器
有益孩子一生的玩具|居家高科技
走進數學：人物、趣談、科技、發展史
寫在最後
微信公眾號「少年數學家」
提供豐富的數學課外知識
數學人物、數學趣談、科技與數學
想讓孩子懂得更多有趣的數學
記得關注「少年數學家」
TAG:超級數學建模 |