為什麼愛因斯坦的引力場方程中會出現圓周率？

圓周率的數值在不同曲率的彎曲空間中是不一樣的。在歐幾里得幾何中，也就是在平直空間中，圓的周長與直徑之比是恆定的常數——圓周率π，這是一個無理數，為3.1415926…。但在非歐幾何中，圓周率就不是一個常數。

非歐幾何中的圓周率

根據愛因斯坦的廣義相對論，我們並非生活在歐氏空間中。由於空間中存在物質和能量，這會引發空間彎曲。質量密度越高的物體，所造成的空間彎曲程度越大，表現出的引力越強。

在彎曲的空間中，我們可以把圓的直徑定義為連接圓上兩點的最大測地線距離。取圓的周長與直徑之比，結果不為歐氏幾何中的π，而且也不是一個常數，與空間曲率有關。

根據黎曼幾何，如果在曲率為正的空間中，例如，閉合的球體，圓周率會小於π，並且曲率越大，圓周率越小。另一方面，如果在曲率為負的空間中，例如，開放的馬鞍面或者雙曲面，圓周率會大於π。

事實上，還有比上述複雜得多的幾何學，圓周率取決於圓在空間中的方向。正因為如此，曲率是由張量來衡量的，而不是一個簡單的數字標量。在廣義相對論中，表示曲率的是里奇張量。在平直時空中，里奇曲率張量等於0。

既然圓周率與曲率有關，那麼，引力場方程中的π是常數嗎？該如何取值？

如前所述，在彎曲空間中，圓的周長和直徑之比並非一個常數。如果要定義這種圓周率的符號，顯然需要引入一個張量符號，而不是像π這樣的標量符號。

事實上，引力場方程中的π就是數學中歐氏幾何的π，是一個完全確定的常數。在計算時，只要代入3.1415926…即可，無需考慮曲率，因為這裡的π不是因為空間曲率而引入的。

那麼，引力場方程中為什麼會出現π呢？

從數學上可以證明，在弱場的情況下，上述的引力場方程可以退化成牛頓引力方程。牛頓的萬有引力定律公式如下：

根據高斯定律，牛頓引力方程的泊松方程如下：

為了讓引力場方程的弱場近似與萬有引力定律的形式保持一致，需要把愛因斯坦引力常數κ（愛因斯坦張量與應力-能量張量的比值）定義為如下的形式：

這樣，可以讓引力場方程在弱場的情況下直接轉變為萬有引力定律，兩種引力理論中的萬有引力常數G都是通用的。

當然，也可以重新定義常數G，讓比例係數κ中的π消失。只是這樣做，會使得引力場方程和萬有引力定律的轉換需要繞個彎子，導致兩者之間的聯繫沒有那麼直接和明確。

由於弱場極限滿足高斯定律，而這會涉及到球的面積，所以必然會引入π。其實牛頓引力方程可以寫成這樣F=G"Mm/(4πr^2)，其中G"=4πG。

總之，π的存在是為了讓引力場方程在弱場下變成牛頓引力方程的形式F=GMm/r^2。如果不這樣，愛因斯坦場方程經過弱場近似處理之後，得到的牛頓引力方程的分母中會出現π，不是我們所熟悉的形式，這樣還需要重新定義G。

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