12.3 極坐標下的二重積分

如何用極坐標來表示二重積分, 從而更加方便的進行計算, 它的計算公式如何推導請看本節內容.

用極坐標表示二重積分與直接坐標系下的二重積分一樣, 在極坐標系下也是將整個區域分割成一系列小塊, 請看下面的動畫所示劃分過程, 橙色的小區域不斷地變小:

假設如果函數 f(r,θ) 定義在區域 R 上, 其邊界為 θ=α, θ=β, 和曲線 r=g1(θ) 和 r=g2(θ). 觀察下面的動畫, 在區域 R 內小矩形為淺藍色. 隨著不斷分割, 這些極坐標下的小矩形越來越小.

下面聚焦一小塊極坐標矩形的面積是如何計算的, 請看下面的圖形:

觀察上圖, 設 (rk,θk) 為面積為 ? A 的小塊中心, 然後有下面和式:

如果 f 在區域 R 上連續, 當網格不斷細分後, ? r 和 ? θ 都趨於0. 這時 S 會趨於極限值. 此極限為 f 在 R 上的二重積分, 記為:

將上面? A 代入和式中, 則累次積分為:

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