極坐標系的二重積分

考慮之前的例子：

這個函數的積分域為四分之一個圓

在直角坐標系下，計算這個積分並不容易，三角換元是已知的唯一解法。

可以用極坐標代替直角坐標。

先回顧下直角坐標系下的二重積分，積分結果幾何上為積分函數和積分區域所圍成的體積。積分區域可以無限劃分為更小的區域。

極坐標下，二元函數的幾何意義是相同的，即二元函數與定義域圍成的體積。

將定義域直角坐標系的x和y分別替換成對應極坐標系的 r 和 theta，同理，定義域可以細分為無數的小塊，先來計算每個小區域的面積。

注意不是：

當面積足夠小時；

再來看看被積分的函數：

由於有直角坐標系和極坐標系的轉換公式：

得到最後極坐標下的積分公式：

內積分：

外積分：

這個例子是幸運的，當從直角坐標系變換的極坐標的時候

• 積分區域更加簡單

• 積分對象更加簡單

但是一般來說，這種轉換總會有犧牲的。

• 積分區域不確定，大部分情況下，首先給定角度，對r做積分

• 積分對象變複雜，因為引入了三角函數

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